分形中的数列与迭代

今日的主题是几许，大天然的几许，一说到几许，咱们必定不生疏，三角形，正方形，圆等，可是天然界中的形状都是三角形，正方形和圆吗，并不是，经典几许学所描绘的都是由直线或曲线，平面或曲面所构成的各种几许形状，他们是显现国际中物体形状的高度笼统。伽利略说：大天然的言语是数学，它的标志是三角形、圆和其他图形。可是关于了解大天然的杂乱性来讲，欧几里得几许学是一种不充分、不具有普遍性的笼统。

在 Mandelbrot 1975年出书的《大天然的分形几许学》一书中，有这么几句话：“云不只是球体，山不只是圆锥，海岸线不是圆形，树皮不是那么润滑，闪电传达的途径更不是直线。它们是什么呢？它们都是简略而又杂乱的‘分形’……”分形的提出是为了更好的去描绘、解说实在的大天然。也正由于此，Mandelbrot被称为“分形之父”。

最著名的分形问题是海岸线到底有多长，Mandelbrot给出的答案是：海岸线的长度是不确定的！海岸线的长度取决于丈量时的标准，就比如同样是一段路，大象和蚂蚁丈量的步数肯定差许多，是由于大象疏忽了细节，而蚂蚁的旅程远大于大象，这如同又给龟兔赛跑一个更合理的理论依据。

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分形之美(共4张)

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假如你细心看一下这几幅图，你会很快总结出来分形的特征，那就是具有自相似性；具有无量多的层次；和一般能够由一个简略的，递归、迭代的办法发生出来。

简略的、递归、迭代，只需你略微了解些高中数学如同对这些界说就不生疏，没错！数列！假如说上面是图形的迭代让人很有距离感，那么数字的迭代就会很亲热。

第一次介绍分形是在高一教学数列极限的时分，我是以这样一个问题引进：是不是真的存在这样一个图形，具有有限的面积却具有无限的周长？当学生找不到答案的时分，此刻我会带着学生从一个正三角形(边长为)开端，依据下列规矩进行结构：

进程 1: 将其每边三等分；

进程 2: 以中心的段为边向外作正三角形；

进程 3: 将第二步中的边长去掉，得到一个新的多边形。

然后把这样的一个进程无限继续下去.

接下来，核算一下无限次后的图形周长和面积。

第1次分形后周长

第2次分形后周长

第3次分形后周长

……

第次分形后周长

同理可得，第 n 次分形后面积

当n趋向无量次周长与面积：

所以咱们得到了无限次后的图形周长是无量大的，可是面积确是有限的。像这样的图形还有许多，咱们把这类图形叫做Koch曲线。一起能够取得数列极限的收敛与发散的条件。

上面边两张图别离是公比。

上面两图公比为。

因而，咱们总结出关于等比数列，当，数列收敛，Constant；当，数列发散，。

为了更好的了解这种迭代进程，下面会经过数据和图形给咱们一个直观的感触。

别离挑选几种常见的函数，作为迭代公式，在给定一个初始值的状况下，咱们看一下迭代 10 次后的一个作用。

关于一次函数，假如系数大于1，则迭代成果渐渐的变大，反之，关于，不论初始值在哪里，10 次迭代后都挨近 10，假如类比上面的等比数列，一次函数的斜率可近似看做等比数列的公比，这儿留意，一次函数中假如有常数项，则不是等比数列。但咱们仍能够近似了解为份额，由于当无量大时，常数项能够疏忽不计。所以当，收敛；，发散，好像依然有用。

可是当迭代包括平方，根式，分式等联系时，咱们仍发现成果存在发散和收敛的状况。当咱们调查的函数不限制等比等差这种标准的联系时，给出恣意非线性函数，以及不同的初始值，发现在某些状况下，不断迭代的成果会趋向于一个定值，而这个值咱们在数值剖析中称为不动点，不动点迭代（Fixed point iteration）指的是：挑选恰当的初始值，依照如下的迭代格局核算，，，假如数列有极限，则称迭代是收敛的，对错线性方程的根和的不动点。

那么关于不同的函数，什么样的状况下收敛，咱们咱们能够经过迭代回形图试着寻觅一下。

以上两种状况是收敛的，咱们发现在邻近较峻峭；

以上两种状况是发散的，咱们发现在邻近较峻峭。

假如结合咱们之前总结的等比数列当公比,则数列有极限，类比到一般函数，此刻的，结合导数界说，因而咱们咱们能够联想到或许其时，函数收敛且有不动点。

在得到不动点定论的进程中，咱们并没有严厉的证明，更多的是一步步探究发现和总结，怎么从问题的表向到实质，再从实质到外化，即从特别到一般，再从一般理论到使用，这应该是开展的一般规矩，也是学习的天然进程。

最终再回到分形，“分形不只展现了数学之美，也提醒了国际的实质，还改变了人们了解天然奥妙的方法。”在分形的国际中，任何一个人都能够是艺术家。

假如给你这样一幅画，你会不会认为这是出自哪个笼统派画家之手，但实际上这个形状只是出自一个纯数学的操练。Mandelbrot在TED讲演中曾介绍过火形和混沌，他总结的最终一句话。

Bottomless wonders spring from simple rules,which are repeated without end.

- Benoit Mandelbrot

无边的奇观源于简略规矩的无限重复。

——本华·曼德博