为什么爱因斯坦的引力场方程中会出现圆周率

圆周率的数值在不同曲率的曲折空间中是不一样的。在欧几里得几许中，也便是在平直空间中，圆的周长与直径之比是稳定的常数——圆周率π，这是一个无理数，为3.1415926…。但在非欧几许中，圆周率就不是一个常数。

非欧几许中的圆周率

依据爱因斯坦的广义相对论，咱们并非生活在欧氏空间中。因为空间中存在物质和能量，这会引发空间曲折。质量密度越高的物体，所形成的空间曲折程度越大，表现出的引力越强。

在曲折的空间中，咱们能够把圆的直径界说为衔接圆上两点的最大测地线间隔。取圆的周长与直径之比，成果不为欧氏几许中的π，而且也不是一个常数，与空间曲率有关。

依据黎曼几许，假如在曲率为正的空间中，例如，闭合的球体，圆周率会小于π，而且曲率越大，圆周率越小。另一方面，假如在曲率为负的空间中，例如，敞开的马鞍面或许双曲面，圆周率会大于π。

事实上，还有比上述杂乱得多的几许学，圆周率取决于圆在空间中的方向。正因为如此，曲率是由张量来衡量的，而不是一个简略的数字标量。在广义相对论中，表明曲率的是里奇张量。在平直时空中，里奇曲率张量等于0。

已然圆周率与曲率有关，那么，引力场方程中的π是常数吗？该怎么取值？

如前所述，在曲折空间中，圆的周长和直径之比并非一个常数。假如要界说这种圆周率的符号，明显需求引进一个张量符号，而不是像π这样的标量符号。

事实上，引力场方程中的π便是数学中欧氏几许的π，是一个彻底确认的常数。在核算时，只需代入3.1415926…即可，无需考虑曲率，因为这儿的π不是因为空间曲率而引进的。

那么，引力场方程中为什么会呈现π呢？

从数学上能够证明，在弱场的情况下，上述的引力场方程能够退化成牛顿引力方程。牛顿的万有引力规律公式如下：

依据高斯规律，牛顿引力方程的泊松方程如下：

为了让引力场方程的弱场近似与万有引力规律的方式保持一致，需求把爱因斯坦引力常数κ（爱因斯坦张量与应力-能量张量的比值）界说为如下的方式：

这样，能够让引力场方程在弱场的情况下直接转变为万有引力规律，两种引力理论中的万有引力常数G都是通用的。

当然，也能够从头界说常数G，让份额系数κ中的π消失。仅仅这样做，会使得引力场方程和万有引力规律的转化需求绕个弯子，导致两者之间的联络没有那么直接和清晰。

因为弱场极限满意高斯规律，而这会涉及到球的面积，所以必然会引进π。其实牛顿引力方程能够写成这样F=G'Mm/(4πr^2)，其间G'=4πG。

总归，π的存在是为了让引力场方程在弱场下变成牛顿引力方程的方式F=GMm/r^2。假如不这样，爱因斯坦场方程通过弱场近似处理之后，得到的牛顿引力方程的分母中会呈现π，不是咱们所了解的方式，这样还需求从头界说G。